【隔板法解排列组合问题】在排列组合问题中，有一类问题是将若干相同的物品分配给不同的对象，且每个对象至少获得一个物品。这类问题可以通过“隔板法”来解决。隔板法是一种直观、高效的数学方法，尤其适用于“不可区分的物品分给可区分的对象”的情况。
一、什么是隔板法？
隔板法的基本思想是：将n个相同的物品排成一行，在它们之间插入k-1个隔板，从而将这些物品分成k组。每组代表一个对象所获得的物品数量。
例如，有5个相同的苹果，要分给3个小朋友，每人至少1个，那么可以使用隔板法进行计算。
二、隔板法的应用条件
| 条件 | 是否满足 |
| 物品是否相同 | 是 |
| 对象是否不同 | 是 |
| 每个对象至少得到1个物品 | 是 |
| 是否允许空组 | 否（若允许空组，则需调整公式） |
三、隔板法的公式
当n个相同的物品分给k个不同的对象，每个对象至少得到1个物品时，其方法数为：
$$
C(n-1, k-1)
$$
其中，$ C $ 表示组合数。
四、隔板法的典型例题与解答
| 题目 | 解答步骤 | 答案 |
| 将6个相同的球分给3个盒子，每个盒子至少1个球 | 将6个球排成一行，中间插入2个隔板，即从5个位置中选2个放隔板 | $ C(5,2) = 10 $ |
| 将8个相同的糖果分给4个小朋友，每人至少1个 | 在7个空隙中选择3个放隔板 | $ C(7,3) = 35 $ |
| 将10个相同的书分给5个书架，每个书架至少1本 | 在9个空隙中选择4个放隔板 | $ C(9,4) = 126 $ |
五、隔板法的变体（允许空组）
如果题目允许某些对象分得0个物品，那么可以先给每个对象“预发”一个物品，再使用隔板法。或者直接使用以下公式：
$$
C(n+k-1, k-1)
$$
例如，将6个相同的球分给3个盒子，允许空盒：
$$
C(6+3-1, 3-1) = C(8,2) = 28
$$
六、总结
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 隔板法 |
| 适用场景 | 相同物品分给不同对象，至少每人1个 |
| 核心思想 | 插入隔板划分物品组 |
| 基本公式 | $ C(n-1, k-1) $ |
| 变体公式（允许空组） | $ C(n+k-1, k-1) $ |
| 优点 | 简洁直观，适合初学者理解 |
| 注意事项 | 明确是否允许空组，避免误用公式 |
通过掌握隔板法，可以快速解决许多排列组合中的分配问题。建议多做练习，熟练掌握其应用方式。
