【分式的导数】在微积分中，分式的导数是一个常见的问题，尤其是在求解函数的导数时。分式通常指的是两个函数相除的形式，即 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数。为了求这种形式的导数，我们需要使用商法则（Quotient Rule）。
一、分式的导数公式
对于函数
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简化为：
$$
f'(x) = \frac{\text{分子导数} \times \text{分母} - \text{分子} \times \text{分母导数}}{\text{分母的平方}}
$$
二、分式导数的总结
| 类型 | 表达式 | 导数公式 | 说明 |
| 常见分式 | $ \frac{u}{v} $ | $ \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 商法则的基本应用 |
| 单项式分式 | $ \frac{x^n}{x^m} $ | $ \frac{n x^{n-1} \cdot x^m - x^n \cdot m x^{m-1}}{x^{2m}} $ | 可简化后求导 |
| 多项式分式 | $ \frac{ax + b}{cx + d} $ | $ \frac{a(cx + d) - (ax + b)c}{(cx + d)^2} $ | 简化后更易计算 |
| 复合分式 | $ \frac{u(v(x))}{w(x)} $ | $ \frac{u'(v(x)) \cdot v'(x) \cdot w(x) - u(v(x)) \cdot w'(x)}{[w(x)]^2} $ | 使用链式法则与商法则结合 |
三、实例解析
例1：求 $ f(x) = \frac{x^2}{x + 1} $ 的导数。
- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x + 1 $，$ v'(x) = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{2x(x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}
$$
四、注意事项
1. 分母不能为零：在使用商法则时，必须确保分母不为零。
2. 先化简再求导：有时候将分式进行约分或分解，可以大大简化导数的计算。
3. 注意符号变化：在分子中，减号容易被忽略，导致错误。
通过掌握分式的导数方法，我们可以更高效地处理各种复杂的函数求导问题。无论是简单的单项式分式，还是复杂的复合分式，只要理解并正确应用商法则，就能轻松应对。
