【关于三角函数的所有公式 及求导公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等多个领域。掌握三角函数的基本公式及其导数，有助于更深入地理解其性质和应用。以下是对三角函数相关公式及求导公式的系统总结。
一、基本三角函数公式
| 函数名称 | 符号 | 定义式 | 常见恒等式 |
| 正弦函数 | sinθ | 对边 / 斜边 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 余弦函数 | cosθ | 邻边 / 斜边 | 1 + tan²θ = sec²θ |
| 正切函数 | tanθ | 对边 / 邻边 | 1 + cot²θ = csc²θ |
| 余切函数 | cotθ | 邻边 / 对边 | tanθ = 1 / cotθ |
| 正割函数 | secθ | 斜边 / 邻边 | cosθ = 1 / secθ |
| 余割函数 | cscθ | 斜边 / 对边 | sinθ = 1 / cscθ |
二、三角函数的诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
三、三角函数的和差公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
四、倍角与半角公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| sin2θ | 2sinθcosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | (1 - cosθ)/sinθ 或 sinθ/(1 + cosθ) |
五、三角函数的求导公式
| 函数名称 | 导数 |
| d/dx [sinx] | cosx |
| d/dx [cosx] | -sinx |
| d/dx [tanx] | sec²x |
| d/dx [cotx] | -csc²x |
| d/dx [secx] | secx tanx |
| d/dx [cscx] | -cscx cotx |
六、常见三角函数图像特征
| 函数名称 | 周期 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 |
| sinx | 2π | R | [-1, 1] | 奇函数 |
| cosx | 2π | R | [-1, 1] | 偶函数 |
| tanx | π | x ≠ π/2 + kπ | R | 奇函数 |
| cotx | π | x ≠ kπ | R | 奇函数 |
| secx | 2π | x ≠ π/2 + kπ | (-∞, -1] ∪ [1, ∞) | 偶函数 |
| cscx | 2π | x ≠ kπ | (-∞, -1] ∪ [1, ∞) | 奇函数 |
总结
三角函数不仅是解析几何和微积分的基础内容，也是解决实际问题的重要工具。通过对基本公式、诱导公式、和差公式、倍角公式以及求导公式的全面掌握，可以更灵活地应对各种数学问题。同时，了解它们的图像特征也有助于直观理解函数的变化趋势和周期性。建议结合具体例题进行练习，以加深对这些公式的理解和应用能力。
