【圆与圆的位置关系公式】在平面几何中，两个圆之间的位置关系是研究图形之间相互作用的重要内容。根据两圆的圆心距离与半径的关系，可以判断它们之间的相对位置，包括外离、外切、相交、内切和内含等五种情况。以下是关于圆与圆位置关系的总结性文字说明及对应的公式表格。

一、圆与圆的位置关系概述

设两个圆的圆心分别为 $ O_1 $ 和 $ O_2 $，半径分别为 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，两圆心之间的距离为 $ d = O_1O_2 $。根据 $ d $ 与 $ r_1 $、$ r_2 $ 的大小关系，可以判断两圆之间的位置关系。

1. 外离（无交点）：两圆完全分离，没有公共点。

2. 外切（有一个交点）：两圆仅有一个公共点，且圆心距等于两半径之和。

3. 相交（有两个交点）：两圆有两个不同的公共点。

4. 内切（有一个交点）：一个圆在另一个圆内部，且圆心距等于两半径之差。

5. 内含（无交点）：一个圆完全在另一个圆内部，且圆心距小于两半径之差。

二、圆与圆的位置关系公式表

三、注意事项

- 当 $ r_1 = r_2 $ 时，若 $ d = 0 $，则两圆重合；若 $ d > 0 $，则为同心圆或不同心但半径相同的圆。

- 若 $ r_1 \neq r_2 $，则需特别注意“内切”和“外切”的区别，即是否为“大圆包含小圆”或“两圆分别在对方外部”。

- 在实际应用中，如几何作图、物理运动轨迹分析等，这些关系具有重要的参考价值。

通过以上总结，我们可以清晰地掌握圆与圆之间各种位置关系的判断依据及其数学表达方式，有助于进一步理解和解决相关几何问题。