在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于物理、工程以及计算机图形学等领域。向量之间不仅可以进行加减运算，还可以进行乘法操作。但与标量之间的乘法不同，向量的乘法有多种类型，其中最常见的是点积（数量积）和叉积（向量积）。这两种乘法在坐标形式下都有各自的计算公式。

一、点积（数量积）

点积是两个向量相乘后得到一个标量的结果。它常用于计算两个向量之间的夹角或投影长度。

点积的坐标公式：

设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

在二维空间中，即当向量为 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 时，点积公式为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

$$

点积的意义：

- 若两向量垂直，则它们的点积为0。

- 点积的大小也反映了两个向量方向上的相似程度。

二、叉积（向量积）

叉积是两个向量相乘后得到一个新的向量，其方向垂直于这两个向量所构成的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。

叉积的坐标公式：

在三维空间中，若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1)

$$

叉积的意义：

- 叉积的结果向量方向遵循“右手定则”。

- 叉积的模长等于两个向量所形成的平行四边形的面积。

- 如果两个向量共线，叉积为零向量。

三、总结

向量的乘法包括两种主要形式：

| 类型 | 结果类型 | 公式 | 应用场景 |

|------|----------|------|----------|

| 点积 | 标量 | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 $ | 计算夹角、投影、能量等 |

| 叉积 | 向量 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1) $ | 计算旋转、力矩、法向量等 |

四、拓展思考

虽然我们讨论了二维和三维空间中的向量乘法，但在更高维空间中，叉积的概念并不直接适用。不过，点积仍然可以推广到任意维度，只需将对应分量相乘后求和即可。

理解这些公式的本质，有助于我们在实际问题中更灵活地应用向量运算，比如在物理学中分析力和运动，在计算机图形学中处理光照和旋转等。

结语：

向量相乘的坐标公式是向量运算的基础内容之一，掌握它们不仅有助于数学学习，也为后续的工程与科学计算打下坚实基础。通过不断练习与应用，能够更加熟练地运用这些工具解决复杂问题。