证明余弦定理

用向量法推导余弦定理

余弦定理是平面几何中的重要公式之一，它描述了三角形边长与角度之间的关系。为了更直观地理解其原理，可以通过向量法进行证明。

首先，设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。假设向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$分别表示边AB和AC的方向。根据向量的模长公式，有：

$$

|\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})

$$

展开后得到：

$$

|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|\cos\angle BAC

$$

将向量的模长替换为边长a、b、c，则可得余弦定理：

$$

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

$$

这种方法不仅简洁明了，还体现了向量运算的强大之处，为解决实际问题提供了有力工具。

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